愛着があるかどうかは関係なく、リムがクネクネしている自転車は乗っていて恥ずかしい。

それを判断するのは貴方ですヨ。

愛着があって大切な自転車だというのは分かりますが、それを大切に使うかどうかはまた別の話だしね。

歪みの度合いが当方には分かりません。

歪み度を数値で示していただかないと判断できません。
歪み度：一周させて縦方向に何ミリメートル、横方向に何ミリメートル？

測れない場合は自転車店にて判断を仰ぎましょう。

危険というか、そのまま使い続け、どんどんゆがみが強くなります。ゆがみが強くなると、後端のフレームにタイヤが接触して回らなくなります。使えなくなるので修理したほうが良いです。ゆがみ始めた時が一番修理代がかかりませんが、しっかり歪み始めると修理代が上昇します。

しっかり歪んでいるようなので、いまさら修理いそいでもどうにもならないので、満足するまで使い込んでください。

簡単に言うと、ホイールの中心と外周の間に金属の棒があるよね？スポークというんだけど。

そのスポークの張る力が歪んでいるとホイール全体として歪んでしまう。
放っておくと歪みがひどくなって修正不能、全てを交換する事になるね。

スポークの歪みの修正だけなら2000円くらいだよ。
もっとも、車体から外して持っていったらの場合ね。
自転車ごと持っていったら4000円くらいはかかるかな。

そのまま乗り続けると後輪が修復不可能になり、後輪のホイールごと交換一万円コースです。
振れ取りだけなら1.000～1,500円ってとこでしょう。スポーク交換なら3,000円。
症状が悪化するたびに修理費用が上がります。
早めの受診をオススメいたします。

歪んで回っているという事は
タイヤが一周する度にどこかしかに
無理な力が掛かり続けているという事です
それがフレームの弱い所に負担を掛けていたりすると
より深刻な故障になる事も有り得ます
チェーンのテンション張った後に
車輪の左右ハブのナットの締め付けが悪かったりすると
後輪の向きと車体の向きがズレて歪んで回る事も
結構あります
ホイールそのものが歪む事もないではないですが・・・